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　　中點弦問題(一)：定義

　　對于給定點P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點且被P點平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連接圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。

　　中點弦問題(二)：圓錐曲線中點弦公式

　　拋物線中點弦公式拋物線C：x^2(這里x^2表示x的平方，下同)=2py上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：py-αx=pβ-α^2。中點弦存在的條件：2pβ>α^2(點P在拋物線開口內(nèi))。

　　橢圓中點弦公式橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。中點弦存在的條件：α^2/a^2+β^2/b^2<1(點P在橢圓內(nèi))。

　　雙曲線中點弦公式雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。中點弦存在的條件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(點P不在雙曲線、漸近線上以及它們所圍成的區(qū)域內(nèi))。

　　中點弦問題(三)：二次曲線中點弦性質(zhì)與蝴蝶定理

　　蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現(xiàn)了蝴蝶生態(tài)美與“數(shù)學(xué)美”的一致性.不少中數(shù)專著或雜志至今還頻繁討論.本文揭示了它與中點弦性質(zhì)的緊密聯(lián)系，并給出統(tǒng)一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式.引理：設(shè)兩條不同的二次曲線S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線，則過A、B、C、D四點的任意一條二次曲線S2必可唯一地表示成：(證明略)定理1 設(shè)三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線;又直線L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中兩弦中點重合，則第三弦中點亦重合.證 設(shè)S、S1的方程為(1)、(2)，則S2方程可表為(3).因直線L0(設(shè)斜率為k)關(guān)于二次曲線S、S1、S2的共軛直徑分別為：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通過L0被S與S1所截得的弦PQ與EF的共同中點O，顯然L2也必通過點O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中點.注 兩直線AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲線S1的特殊情形，甚至E和F重合于O.故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形.定理2 設(shè)AB∥CD，S和S1是過A、B、C、D四點的任意兩條二次曲線.若平行于AB的任意直線與S、S1各有兩個交點，則夾在兩曲線之間的兩線段相等.證 設(shè)AB、CD的中點分別為M、N，又AB∥CD，故直線MN就是AB關(guān)于S和S1的共軛直徑，故若平行于AB的任意直線被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中點O，故有PE=QF，命題得證.注 由于PQ可為AB與CD之間任意平行弦，皆有PE=QF，故夾在S和S1之間的兩曲邊區(qū)域△1和△2面積相等.[1]它酷似蝴蝶兩翼，不過并非軸對稱，而是沿AB方向共軛.如果世上真有這樣的蝴蝶，飛行亦能平衡自如.定理1還可推廣得到更一般的結(jié)論.定理3 若三條不同的二次曲線S、S1、S2有無三點共線的四個公共點，沿某一確定方向的任意直線L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，則三弦中點O、O1、O2之間有向線段之比為常數(shù).證 不妨取坐標(biāo)系使確定方向為x軸.于是該方向(k=0)關(guān)于S、S1、S2的共軛直徑分別為(參見定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0設(shè)直線L0方程為y=y0，PQ、EF、GH的中點為O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直徑方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故 a11(x2-x0)=λb11(x2-x1) (4)即 OO2/O2O1=α (a11≠0時) (5)其中α=-λb11/a11是與y0無關(guān)的常數(shù)(由S、S1、S2三曲線確定.當(dāng)a11=0時，L∥L0可知L0與S無兩個交點，故不在本命題討論之列).(5)式意即：在指定順序O、O2、O1之下，兩有向線段之比不因L0平行移動而變化.推論 在定理3條件下，對任意直線L0所截的三弦中點中，任意兩點總在第三點同側(cè)或異側(cè).當(dāng)O、O1、O2中有兩點重合時，第三點也重合.“蝴蝶定理”雖然如自然界的蝴蝶種類一樣千變?nèi)f化，然而萬變不離其宗，核心在于中點弦性質(zhì).

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