【63xf.com--初中作文】
三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。下面是中國文庫網(wǎng)63xf.com小編整理的三角函數(shù)，供大家參考!三角函數(shù)
三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
只使用幾何和極限的性質(zhì)，可以證明正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦。(在微積分中，所有角度都以弧度來度量)。我們可以接著使用泰勒級數(shù)的理論來證明下列恒等式對于所有實數(shù)x都成立：
這些恒等式經(jīng)常被用做正弦和余弦函數(shù)的定義。它們經(jīng)常被用做三角函數(shù)的嚴(yán)格處理和應(yīng)用的起點(比如，在傅里葉級數(shù)中)，因為無窮級數(shù)的理論可從實數(shù)系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數(shù)的可微性和連續(xù)性便可以單獨從級數(shù)定義來確立。
三角函數(shù) 編輯詞條 添加義項名
B 添加義項
?
所屬類別 : 函數(shù)
三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
基本信息
·
中文名稱
·
三角函數(shù)
·
·
外文名稱
·
trigonometric function
·
·
創(chuàng)始人
·
歐拉
·
目錄1?級數(shù)定義
2基本定義
3公式起源
4正弦余弦5相關(guān)定義
6特殊角度
7相關(guān)概念
8高等應(yīng)用9性質(zhì)定理
10具體應(yīng)用
11常見考法
折疊編輯本段?級數(shù)定義
只使用幾何和極限的性質(zhì)，可以證明正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦。(在微積分中，所有角度都以弧度來度量)。我們可以接著使用泰勒級數(shù)的理論來證明下列恒等式對于所有實數(shù)x都成立：
其他級數(shù)可見于：
Bn是n次伯努利數(shù)，
折疊編輯本段基本定義
折疊銳角三角函數(shù)
折疊罕見三角函數(shù)
除了上述六個常見的函數(shù)，還有一些不常見的三角函數(shù)：
函數(shù)名與常見函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系
正矢函數(shù)versinθ=1-cosθ
vercosinθ=1+cosθ
余矢函數(shù)coversinθ=1-sinθ
covercosinθ=1+sinθ
半正矢函數(shù)haversinθ=(1-cosθ)/2
havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函數(shù)hacoversinθ=(1-sinθ)/2
hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函數(shù)exsecθ=secθ-1
外余割函數(shù)excscθ=cscθ-1
折疊任意角三角函數(shù)
如圖：在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)O-x為任意角α的始邊，在角α終邊上任取一點P(x，y)，令OP=r.
sinα=y/r secα=r/x
cosα=x/r cscα=r/y
tanα=y/x cotα=x/y
折疊單位圓定義
六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值;實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，
圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負(fù)角。設(shè)一個過原點的線，同 x軸正半部分得到一個角 θ，并與單位圓相交。這個交點的 x和 y坐標(biāo)分別等于cosθ和sinθ。圖像中的三角形確保了這個公式;半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sinθ= y/1 和 cosθ= x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。
對于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為 2π的周期函數(shù)：對于任何角度 θ和任何整數(shù)k。
周期函數(shù)的最小正周期叫做這個函數(shù)的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圓，也就是 2π 弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函數(shù)的定義如圖所示。
在正切函數(shù)的圖像中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k+ 1/2)π 的時候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側(cè)接進(jìn) (k+ 1/2)π 的時候函數(shù)接近正無窮，而從右側(cè)接近 (k+ 1/2)π 的時候函數(shù)接近負(fù)無窮。
tanθ是通過 A的切線的線段AE的長度，所以這個函數(shù)才叫正切。cotθ是另一個切線段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割線(與圓相交于兩點)的線段，所以可以看作 OA沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。DE是 exsecθ= secθ-1(正割在圓外的部分)。通過這些構(gòu)造，容易看出正割和正切函數(shù)在 θ 接近 π/2的時候發(fā)散，而余割和余切在 θ 接近零的時候發(fā)散。
折疊編輯本段公式起源
“三角學(xué)”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 Trigonometria。現(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學(xué)：解三角學(xué)的簡明處理》，創(chuàng)造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(測量)兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字，原因是當(dāng)時三角學(xué)還沒有形成一門獨立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實用基礎(chǔ)。
早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移;后來，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動他們?nèi)ラL途旅行。在當(dāng)時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經(jīng)水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標(biāo)，夜里則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠(yuǎn)的異域海岸航行的人指出了正確的道路。
就這樣，最初的以太陽和星星為目標(biāo)的天文觀測，以及為這種觀測服務(wù)的原始的三角測量就應(yīng)運而生了。因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的。
公元五世紀(jì)到十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家對三角學(xué)作出了較大的貢獻(xiàn)。盡管當(dāng)時三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由于印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了。
三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進(jìn)的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。
我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應(yīng)起來的。印度數(shù)學(xué)家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應(yīng)，即將AC與∠AOC對應(yīng)(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。
印度人稱連結(jié)弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀(jì)，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個字被意譯成了”sinus”。
折疊三角學(xué)問題的提出
三角學(xué)理論的基礎(chǔ)，是對三角形各元素之間相依關(guān)系的認(rèn)識。一般認(rèn)為，這一認(rèn)識最早是由希臘天文學(xué)家獲得的。古希臘三角術(shù)的奠基人是公元前2世紀(jì)的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份(即圓周的弧度為360度，與現(xiàn)代的弧度制不同)。對于給定的弧度，他給出了對應(yīng)的弦的長度數(shù)值，這個記法和現(xiàn)代的正弦函數(shù)是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。然而古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué)。這與古希臘人研究的主體是天文學(xué)有關(guān)。
當(dāng)時，希臘天文學(xué)家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學(xué)發(fā)展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎(chǔ)之具有定量分析的科學(xué)。他們給自己提出的第一個任務(wù)是解直角三角形，因為進(jìn)行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關(guān)系，通常是以直角三角形邊角之間的關(guān)系反映出來的。在很早以前，希臘天文學(xué)家從天文觀測的經(jīng)驗中獲得了這樣一個認(rèn)識：星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所采用的角度來反映的(如圖一);角度(∠ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。
梅涅勞斯在他的著作《球面學(xué)》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時代達(dá)到了高峰，托勒密在《數(shù)學(xué)匯編》(Syntaxis Mathematica)中計算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對應(yīng)的正弦值。
古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對三角術(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。公元5世紀(jì)末的數(shù)學(xué)家阿耶波多提出用弧對應(yīng)的弦長的一半來對應(yīng)半弧的正弦，這個做法被后來的古印度數(shù)學(xué)家使用，和現(xiàn)代的正弦定義一致了。阿耶波多的計算中也使用了余弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度(3.75°)的三角函數(shù)值表。然而古印度的數(shù)學(xué)與當(dāng)時的中國一樣，停留在計算方面，缺乏系統(tǒng)的定義和演繹的證明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學(xué)是直接繼承于古希臘。阿拉伯天文學(xué)家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并計算了間隔10分(10′)的正弦和正切數(shù)值表。到了公元14世紀(jì)，阿拉伯人將三角計算重新以算術(shù)方式代數(shù)化(古希臘人采用的是建立在幾何上的推導(dǎo)方式)的努力為后來三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來，成為了有更廣泛應(yīng)用的學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。
折疊獨立三角學(xué)的產(chǎn)生
雖然后期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)開始對三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來的表現(xiàn)，但是嚴(yán)格地說，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨立的三角學(xué)。真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個獨立學(xué)科加以系統(tǒng)敘述的，是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯。
雷基奧蒙坦納斯是十五世紀(jì)最有聲望的德國數(shù)學(xué)家約翰●謬?yán)盏墓P名。他生于哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝復(fù)興時期作品的收集和翻譯工作，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們在三角方面的工作比較了解。
折疊中世紀(jì)末期
進(jìn)入15世紀(jì)后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業(yè)的興盛，航行、歷法測定和地理測繪中出現(xiàn)了對三角學(xué)的需求。在翻譯阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作的同時，歐洲數(shù)學(xué)家開始制作更詳細(xì)精確的三角函數(shù)值表。哥白尼的學(xué)生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10秒(10″)的正弦表，有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應(yīng)的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應(yīng)的弦長稱為正弦。16世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家開始將古希臘有關(guān)球面三角的結(jié)果和定理轉(zhuǎn)化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達(dá)給出了托勒密的不少結(jié)果對應(yīng)的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達(dá)方式。
折疊現(xiàn)代三角學(xué)的確認(rèn)
18世紀(jì)開始，隨著解析幾何等分析學(xué)工具的引進(jìn)，數(shù)學(xué)家們開始對三角函數(shù)進(jìn)行分析學(xué)上的研究。牛頓在1669年的《分析學(xué)》一書中給出了正弦和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)表示。Collins將牛頓的結(jié)果告訴了詹姆斯·格列高里，后者進(jìn)一步給出了正切等三角函數(shù)的無窮級數(shù)。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結(jié)果。
十八世紀(jì)，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌。三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對應(yīng)的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，歐拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum，1748年)對建立三角函數(shù)的分析處理做了最主要的貢獻(xiàn)，他指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個角的三角函數(shù)，都可以認(rèn)為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα= MP/OM等。若令半徑為單位長，那么所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化。他還定義三角函數(shù)為無窮級數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。
歐拉的這個定義是極其科學(xué)的，它使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科。正如歐拉所說，引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運算。一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅實的理論依據(jù)，而且大大地豐富了。嚴(yán)格地說，這時才是三角學(xué)的真正確立。
折疊弦表的發(fā)明
星球的高度與人觀測的角度之間在數(shù)量上究竟怎么樣呢?能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學(xué)向數(shù)學(xué)提出的第一個課題-制造弦表。根據(jù)認(rèn)識，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之間的距離。
然而，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內(nèi)，去計算給定度數(shù)的圓弧AB所對應(yīng)的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，我們所知關(guān)于希帕克在三角學(xué)上的成就，是從公元二世紀(jì)希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創(chuàng)造。
據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的60進(jìn)位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;后來，這兩個名字演變?yōu)?rdquo;minute”和”second”，成為角和時間的度量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。
建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應(yīng)的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應(yīng)的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位);用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應(yīng)的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應(yīng)的弦值，接著就利用所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長度與∠ABC的大小之間的對應(yīng)關(guān)系。
折疊傳入中國
三角學(xué)輸入中國，開始于明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部份呈獻(xiàn)給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學(xué)。在《大測》中，首先將sine譯為”正半弦”，簡稱”正弦”，這就成了“正弦”一詞的由來。
折疊編輯本段正弦余弦
折疊余弦
對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì)——
a² = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)
cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
(物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到)
第一余弦定理(任意三角形射影定理)
設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A
折疊“正弦”的由來
公元五世紀(jì)到十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家對三角學(xué)作出了較大的貢獻(xiàn)。盡管當(dāng)時三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由于印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了。
三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進(jìn)的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。
印度人稱連結(jié)弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀(jì)，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個字被意譯成了”sinus”。
三角學(xué)輸入我國，開始于明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部份呈獻(xiàn)給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學(xué)。在《大測》中，首先將sinus譯為”正半弦”，簡稱”正弦”，這就成了正弦一詞的由來。
折疊“弦表”問世
根據(jù)現(xiàn)在的認(rèn)識，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內(nèi)，去計算給定度數(shù)的圓弧AB所對應(yīng)的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現(xiàn)在我們所知關(guān)于希帕克在三角學(xué)上的成就，是從公元二世紀(jì)希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創(chuàng)造。
據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的60進(jìn)位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;后來，這兩個名字演變?yōu)?rdquo;minute”和”second”，成為現(xiàn)在角和時間的度 量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。
建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應(yīng)的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應(yīng)的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位);用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應(yīng)的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應(yīng)的弦值，接著就利用現(xiàn)在所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。
折疊60進(jìn)制
60進(jìn)制以度為單位，將圓周分成360等份，每一份所對的圓心角叫做1度，1度等于60分，1分等于60秒。在時間上,1小時有60分，1分有60秒。這種60進(jìn)制起源于巴比倫是1854年由欣克斯(Edward Hincks，1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所發(fā)現(xiàn)的,這些泥板是公元前2300-1600年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人，以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱于世。
巴比倫人為什么用60作為進(jìn)位的基數(shù)呢?這是很有趣的問題，引起后人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。
(1)數(shù)學(xué)史家M.康托爾(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾認(rèn)為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度，太陽就每天行一度。又圓內(nèi)恰好可以連續(xù)作6條等于半徑長的弦,每一條弦所對的長是60度，基數(shù)60或者由此而來。但根據(jù)考證,巴比倫人很早就知道太陽年是365日，太陰年(12個月)是354或355日,因此這種假說很難成立?？低袪柡髞硪卜艞壛诉@種說法。
(2)60這個數(shù)字的選擇是因為它是許多簡單數(shù)字2，3，4，5，6，10，12，……的倍數(shù)，從而它的1/2，1/3，1/4， 1/5，……都是整數(shù),用起來比較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就已指出，近年來又有 勒夫勒等人提倡。然而有人認(rèn)為這是違反歷史事實的,因為記數(shù)制度不可能由某些學(xué)者為了”科學(xué)目的”自由創(chuàng)造出來，而是悠久歷史發(fā)展的結(jié)果。
(3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當(dāng)時兩河流域有兩個民族，1個用10進(jìn)制，一個用6進(jìn)制。兩種制度混合調(diào)和就形成60進(jìn)制。10進(jìn)制是容易理解的，因為人們用10個指頭來計算,而6進(jìn)制是用一只手來計算，5個指頭表示1至5，握拳表示6，6以上，就要進(jìn)位了。其實有幾種意見認(rèn)為是和指算有關(guān)。用手指計算的確在某些地區(qū)和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有”掐指一算”的說法。
總之，對于基數(shù)60的起源,至今還沒有一致公認(rèn)的看法。中國在殷商時代(公元前16-11世紀(jì)),就開始用干支紀(jì)日、紀(jì)年，從甲子起，60一個循環(huán),周而復(fù)始，叫做六十花甲子?？梢哉f和巴比倫異曲同工,不過沒有發(fā)展為進(jìn)位值。
*希伯諸斯據(jù)說曾編著了第一個三角函數(shù)表，這個成就使他贏得了“三角學(xué)之父”的稱謂。
折疊編輯本段相關(guān)定義
依據(jù)單位圓定義，我們可以做三個有向線段(向量)來表示正弦、余弦、正切的值。
如圖所示，圓O是一個單位圓，P是α的終邊與單位圓上的交點，M點是P在x軸的投影，S(1,0)是圓O與x軸正半軸的交點，過S點做圓O的切線l。
那么向量MP對應(yīng)的就是α的正弦值，向量OM對應(yīng)的就是余弦值。OP的延長線(或反向延長線)與l的交點為T，則向量ST對應(yīng)的就是正切值。向量的起止點不能顛倒，因為其方向是有意義的。
借助線三角函數(shù)線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負(fù)，正切值為負(fù)。
1.銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。
正弦(sin)等于對邊比斜邊;
余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;
正切(tan)等于對邊比鄰邊;
余切(cot)等于鄰邊比對邊;
正割(sec)等于斜邊比鄰邊;
余割(csc)等于斜邊比對邊。
2.互余角的三角函數(shù)關(guān)系
sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。
3.同角三角函數(shù)間的關(guān)系
商數(shù)關(guān)系：sinA/cosA=tanA
平方關(guān)系：sin^2(A)+cos^2(A)=1
積的關(guān)系：
sinA=tanA·cosA
cosA=cotA·sinA
cotA=cosA·cscA
tanA·cotA=1
倒數(shù)關(guān)系：
直角三角形ABC中
角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊,
余切等于鄰邊比對邊
4.三角函數(shù)值
(1)特殊角三角函數(shù)值
(2)0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表
(3)銳角三角函數(shù)值的變化情況
(i)銳角三角函數(shù)值都是正值
(ii)當(dāng)角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)
余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)
(iii)當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時，
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0
當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時，
tanA>0, cotA>0
本文來源：http://63xf.com/zuowen/103021.html
文檔為doc格式
2024-01-16 
