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　　如圖 已知直三棱柱測棱長為2 底面三角形為等腰直角 求異面直線

　　分析：(Ⅰ)法一：利用平行四邊形的性質把其中一條平移及異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數的計算即可求出;

　　法二：建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量所成的角即可求出異面直線所成的角;

　　(Ⅱ)法一：過C1作C1M⊥A1B1，垂足為M，則M為A1B1的中點，且C1M⊥平面AA1B1B.連接DM，利用三垂線定理即可找出點E的位置;

　　法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA1C1C，連接A1N.利用三垂線定理即可證明;

　　法三：建立空間直角坐標系，利用

　　A1E

　　⊥

　　C1D

　　?

　　A1E

　　•

　　C1D

　　=0即可求出;

　　(Ⅲ)法一：利用線面、面面垂直的判定和性質即可求出;

　　法二：利用“等積變形”即可求出.

　　解答：(Ⅰ)法一：取CC1的中點F，連接AF，BF，則AF∥C1D

　　∴∠BAF為異面直線AB與C1D所成的角或其補角.

　　∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2

　　2

　　.

　　又∵CC1=2，∴AF=BF=

　　5

　　.

　　∵cos∠BAF=

　　2

　　5

　　=

　　10

　　5

　　，

　　∴∠BAF=arccos

　　10

　　5

　　，

　　即異面直線AB與C1D所成的角為arccos

　　10

　　5

　　.

　　法二：以C為坐標原點，CB，CA，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

　　則A(0，2，0)，B(2，0，0)，

　　C1(0，0，2)，D(0，2，1)，

　　∴

　　AB

　　=(2，-2，0)，

　　C1D

　　=(0，2，-1).由于異面直線AB與C1D所成的角

　　為向量

　　AB

　　與

　　C1D

　　的夾角或其補角.設

　　AB

　　與

　　C1D

　　夾角為θ，

　　則cosθ=

　　-4

　　2

　　2

　　×

　　5

　　=-

　　10

　　5

　　，θ=π-arccos

　　10

　　5

　　，

　　即異面直線AB與C1D所成的角為arccosθ.

　　(Ⅱ)法一：過C1作C1M⊥A1B1，垂足為M，則M為A1B1的中點，且C1M⊥平面AA1B1B.連接DM.

　　∴DM即為C1D在平面AA1B1B上的射影.要使得A1E⊥C1D，由三垂線定理知，只要A1E⊥DM.

　　∵AA1=2，AB=2

　　2

　　，由計算知，E為AB的中點.

　　法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA1C1C.

　　連接A1N.∴A1N即為A1E在平面AA1C1C上的射影.要使得A1E⊥C1D，由三垂線定理知，只要A1N⊥C1D.

　　∵四邊形AA1C1C為正方形，∴N為AC的中點，∴E點為AB的中點.

　　法三：以C為坐標原點，CB，CA，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

　　則A1(0，2，2)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，

　　C1(0，0，2)，D(0，2，1)，

　　設E點的坐標為(x，y，0)，

　　要使得A1E⊥C1D，

　　只要

　　A1E

　　•

　　C1D

　　=0，∵

　　A1E

　　=(x，y-2，-2)，

　　C1D

　　=(0，2，-1)，y=1.

　　又∵點E在AB上，∴

　　AE

　　∥

　　AB

　　，

　　AE

　　=(x，y-2，0)，

　　AB

　　=(2，-2，0).

　　∴x=1.

　　∴E(1，1，0).

　　∴E點為AB的中點.

　　(Ⅲ)法一：取AC中點N，連接EN，C1N，

　　則EN∥B1C1.∵B1C1⊥平面AA1C1C，∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C.

　　過點D作DH⊥C1N，垂足為H，則DH⊥平面B1C1NE，

　　∴DH的長度即為點D到平面B1C1E的距離.

　　在正方形AA1C1C中，由計算知DH=

　　3

　　5

　　5

　　，即點D到平面B1C1E的 距離

　　3

　　5

　　5

　　.

　　法二：連接DE，DB1.

　　在三棱錐D-B1C1E中，點C1到平面DB1E的距離

　　=

　　2

　　，B1E=

　　6

　　，DE=

　　3

　　，

　　又B1E⊥DE，∴△DB1E的面積=

　　1

　　2

　　×

　　6

　　×

　　2

　　=

　　3

　　2

　　2

　　，

　　∴三棱錐C1-DB1E的體積為=

　　1

　　3

　　×

　　3

　　2

　　2

　　×

　　2

　　=1.

　　設點D到平面B1C1E的距離為d，在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=C1E=

　　6

　　，

　　∴△B1C1E的面積=

　　1

　　2

　　×2×

　　5

　　=

　　5

　　.由

　　1

　　3

　　×d×

　　5

　　=1，

　　得d=

　　3

　　5

　　5

　　，即點D到平面B1C1E的距離

　　3

　　5

　　5

　　.

　　點評：本題綜合考查了空間中的空間角、線面位置關系、空間距離，熟練掌握平行四邊形的性質、異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數的計算、三垂線定理、通過建立空間直角坐標系利用直線的方向向量及平面的法向量的夾角、

　　A1E

　　⊥

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