【63xf.com--試題】

　　高考幾何證明選講(一)

　　1.在△ ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，則CD為(　　)

　　A.3　　　　　　　　　 B.4

　　C.5 D.6

　　解析：∵∠BAC=∠ADC，∠C為公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC=CACD，∴CD=AC2BC=8216=4.故選B.

　　答案：B

　　2.如圖，在?ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BE∶EC=2∶3，AE交BD于F，則BF∶FD等于(　　)

　　A.2∶5 B.3∶5

　　C.2∶3 D.5∶7

　　解析：∵AD=BC，BE∶EC=2∶3，

　　∴BE∶AD=2∶5.

　　∵AD∥BC，

　　∴BF∶FD=BE∶AD=2∶5.

　　答案：A

　　3.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，S△ADE=3，則S△CDE等于(　　)

　　A.2 B.32

　　C.3 D.2

　　解析：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE=EC∶AD.∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE=BC∶ED，又因?yàn)?ang;ECB=∠DEC=∠ADE，∠BEC=∠EAD，∴△BEC∽△EAD，

　　∴EC∶AD=BC∶ED，∴S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE，得S△CDE=3.

　　答案：C

　　4.如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，要使△ABC∽△CDB，那么BD與a，b應(yīng)滿足(　　)

　　A.BD=b2a B.BD=ba2

　　C.BD=a2b D.BD=ab2

　　解 析：∵∠ABC=∠CDB=90°，

　　∴當(dāng)ACBC=BCBD時，△ABC∽△CDB，

　　即當(dāng)ab=bBD時，△ABC∽△CDB，

　　∴BD=b2a.

　　答案：A

　　5.如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則EFBC+FGAD=(　　)

　　A.1 B.2

　　C.3 D.4

　　解析：∵EF∥BC，∴EFBC=AFAC，

　　又∵FG∥AD，∴FGAD=CFAC，

　　∴EFBC+FGAD=AFAC+CFAC=ACAC=1.

　　答案：A

　　6.(2014年揭陽模擬)如圖，BD⊥AE，∠C=90°，AB=4，BC=2，AD=3，則CE=(　　)

　　A.92

　　B.27

　　C.37

　　D.36

　　解析：如圖，作CH⊥AE于H，則BD∥CH，

　　∴ABAC=ADAH，∴44+2=3AH，

　　∴AH=92，

　　∴在Rt△AHC中，

　　CH= 62-922=372，

　　又Rt△CHE∽Rt△AHC，

　　∴CECH=ACAH，

　　∴CE= ACAH•CH=692×372=27.

　　答案：B

　　二、填空題

　　7.在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD=1∶9，則tan∠BCD=________.

　　解析：在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得

　　CD2=AD•BD，

　　又BD∶AD=1∶9，

　　令BD=x，則AD=9x(x>0).

　　∴CD2=9x2，

　　∴CD=3x.

　　Rt△CDB中，tan∠BCD=BDCD=x3x=13.

　　答案：13

　　8.(2014年茂名模擬)如圖，已知AB∥EF∥CD，若AB=4，CD=12，則EF=________.

　　解析：∵AB∥EF∥CD，

　　∴EFAB=CFBC，①

　　EFCD=BFBC，②

　?、佗诘茫篊FBF=CDAB=124=3，

　　∴EFCD=BFBC=14，∴EF=14CD=3.

　　答案：3

　　9.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=12 cm，高AD=8 cm，要把它 加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上，則這個正方形的邊長為________cm.

　　解析：設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，A C上，△ABC的高AD與邊PN相交于點(diǎn)E，設(shè)正方形的邊長為x cm.

　　∵PN∥ BC，

　　∴△APN∽△ABC.

　　∴AEAD=PNBC，∴8-x8=x12.

　　解得x=4.8.

　　即加工成的正方形零件的邊長為4.8 cm.

　　高考幾何證明選講(二)

　　1.平行線的截割定理

　　(1)平行線等分線段定理

　　定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

　　推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

　　推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰.

　　(2)平行線分線段成比例定理

　　定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

　　推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.

　　2.相似三角形的判定定理

　　(1)判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.

　　(2)判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

　　(3)判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.

　　3.相似三角形的性質(zhì)定理

　　(1)性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

　　(2)推論：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方.

　　4.直角三角形相似的判定定理

　　(1)判定定理1：如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似.

　　(2)判定定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似.

　　(3)判定定理3：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

　　5.直角三角形射影定理

　　直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng).

　　考點(diǎn)一平行線截割定理的應(yīng)用

　　[例1]　(2014·廣東高考節(jié)選)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB=2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，求的值.

　　[聽前試做]　由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是===9.

　　方法規(guī)律

　　平行線截割定理的作用

　　平行線截割定理一方面可以判定線段成比例;另一方面，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時，常用這個定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比.

　　如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF=3，EF∥AB，求梯形ABFE與梯形EFCD的面積比.

　　解：由CD=2，AB=4，EF=3，得EF=(CD+AB)，所以EF是梯形ABCD的中位線，則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設(shè)為h，則S梯形ABFE∶S梯形EFCD=(3+4)h∶(2+3)h=7∶5.

　　考點(diǎn)二相似三角形的判定與性質(zhì)

　　[例2]　(2015·沈陽模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.

　　證明：(1)∠FEB=∠CEB;

　　(2)EF2=AD·BC.

　　[聽前試做]　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB=∠EAB.

　　由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB+∠EBF=;

　　又EF⊥AB，得∠FEB+∠EBF=，

　　從而∠FEB=∠EAB.

　　故∠FEB=∠CEB.

　　(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB=∠CEB，BE是公共邊，

　　得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC=BF.

　　類似可證：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD=AF.

　　又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2=AF·BF，

　　所以EF2=AD·BC.

　　高考幾何證明選講(三)

　　(1)證明線段成比例(或線段之積相等).利用已知條件證明三角形相似，即可得出結(jié)論.

　　(2)證明角相等.先確定兩個角所在的三角形，然后證明三角形相似，進(jìn)而得出角相等.

　　(3)求線段長.可轉(zhuǎn)化成(1)，再利用已知條件求線段長.

　　(2015·長春模擬)如圖所示，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC的延長線于點(diǎn)D.

　　(1)求證：=;

　　(2)若AC=3，求AP·AD的值.

　　證明：(1)因?yàn)?ang;CPD=∠ABC，∠PDC=∠PDC，

　　所以△DPC∽△DBA，所以=.

　　又AB=AC，所以=.

　　(2)因?yàn)?ang;ABC+∠APC=180°，∠ACB+∠ACD=180°，

　　∠ABC=∠ACB，

　　所以∠ACD=∠APC.

　　又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以=，

　　所以AP·AD=AC2=9.

　　考點(diǎn)三射影定理及其應(yīng)用

　　[例3]　(2015·太原模擬)如圖所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點(diǎn)F，求證：=.

　　[聽前試做]　∵BE是∠ABC的角平分線，

　　∴=，①

　　=.②

　　在Rt△ABC中，由射影定理知，

　　AB2=BD·BC，即=.③

　　由①③得=，④

　　由②④得=.

　　方法規(guī)律

　　巧用射影定理解題

　　已知條件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜邊上的高時，應(yīng)首先考慮射影定理，注意射影定理與斜邊的對應(yīng)法則，根據(jù)題目中的結(jié)論分析并選擇射影定理中的等式，并分清比例中項(xiàng).

　　如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

　　求證：AE·AB=AF·AC.

　　證明：∵AD⊥BC，

　　∴△ADB為直角三角形，

　　又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2=AE·AB.

　　同理可得AD2=AF·AC，

　　∴AE·AB=AF·AC.

　　———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————

　　個注意點(diǎn)——運(yùn)用平行線分線段成比例定理的注意點(diǎn)

　　(1)平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例，在運(yùn)用平行線分線段成比例定理時要注意平行線的不同位置，以及在三角形與四邊形中的靈活應(yīng)用.

　　(2)證明線段成比例，若已知條件中沒有平行線，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式等)，?？紤]相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例或利用中間比求解.

　　個技巧——等積式證明方法

　　證明等積式，化成比例式，用分子、分母四個字母構(gòu)造三角形，或等號同側(cè)四個字母構(gòu)造三角形，證此兩三角形相似.不能構(gòu)成三角形或三角形不相似需轉(zhuǎn)化.

　　如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，DE∥AC，EF⊥BC， =，BD=6，求FC的長.

　　解：由DE∥AC，=，BD=6，知DC=4.又EF∥AD，故=，解得FD=，

　　故FC=FD+DC=.

　　2.(2015·南陽模擬)如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AC，BD=AB，點(diǎn)F在BC上，且CF=BC.求證：

　　(1)EF⊥BC;

　　(2)∠ADE=∠EBC.

　　證明：設(shè)AB=AC=3a，則AE=BD=a，CF=a.

　　(1)==，==.

　　又∠C為公共角，

　　故△BAC∽△EFC，

　　由∠BAC=90°，∴∠EFC=90°，∴EF⊥BC.

　　(2)由(1)得EF=a，

　　故==，==，

　　∴=，∵∠DAE=∠BFE=90°，

　　∴△ADE∽△FBE，

　　∴∠ADE=∠EBC.

　　3.(2015·哈爾濱模擬)如圖，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于F.求證：=.

　　證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

　　∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°，

　　∴∠1+∠2=90°，∠2+∠C=90°.

　　∴∠1=∠C.∴△ABD∽△CAD，∴=.

　　又∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE=EC，∴∠3=∠C.

　　又∵∠3=∠4，∠1=∠C，

　　∴∠1=∠4.

　　又∠F=∠F，

　　∴△FBD∽△FDA，

　　∴=，∴=.

　　4.在△ABC中，∠BAC=90°，BC邊的垂直平分線EM和AB以及CA的延長線分別交于D、E，連接AM，求證：AM2=DM·EM.

　　證明：∵∠BAC=90°，M是BC邊的中點(diǎn)，∴AM=CM，∠MAC=∠C，

　　又∵EM⊥BC，∴∠E+∠C=90°，

　　又∵∠BAM+∠MAC=90°，

　　∴∠E=∠BAM.

　　又∵∠EMA=∠AMD，∴△AMD∽△EMA.

　　∴=，

　　∴AM2=DM·EM.

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